Dérivée de la fonction inverse

Propriété
On considère la fonction inverse \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(\boxed{f(x)=\dfrac{1}{x}}\).
La fonction inverse est dérivable sur chacun des intervalles \(]-\infty~;0[~\text{et}~]0~;+\infty[\) pour tout réel \(x\) appartenant à \(]-\infty~;0[~\cup~]0~;+\infty[\) , \(\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}}\).

Remarque

C'est un cas particulier de la formule de dérivation des fonctions puissances \(x \mapsto x^n\) avec \(\color{red}{n=-1}\).
En effet, pour tout réel \(x\) non nul, \(f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{\color{red}{-1}}\), alors \(f'(x)=\color{red}{-1}x^{\color{red}{-1}-1}=-1x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}\).

Exemples

Pour tout réel \(x\) non nul :

• si \(f(x)=\dfrac{3}{x}=3 \times\color{blue}{ \dfrac{1}{x}}\), alors \(f'(x)=3 \times \color{blue}{\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}=-\dfrac{3}{x^2}\).
• si \(g(x)=-\dfrac{100}{x}=-100 \times \color{blue}{\dfrac{1}{x}}\), alors \(g'(x)=-100 \times \color{blue}{\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{100}{x^2}\).
  
• si \(h(x)=\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2} \times \color{blue}{\dfrac{1}{x}}\), alors \(h'(x)=\dfrac{1}{2} \times \color{blue}{\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}=-\dfrac{1}{2x^2}\).